Как строить фигуры лиссажу

Что такое фигуры Лиссажу?

Фигуры Лиссажу представляют из себя различные геометрически-красивые рисунки, которые вычерчиваются точкой, колеблющейся в двух взаимно-перпендикулярных направлениях на одной плоскости.

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку – мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится – это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

1 – это горизонтальные пластины

2 – вертикальные пластины

ну и остальные детали – это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные – другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Требуемые приборы для получения и наблюдения фигур Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y – напряжение. Поэтому, по умолчанию, мы на осциллографе смотрим изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади – папа? Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Получаем фигуры Лиссажу на практике

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал – другой генератор частоты:

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Если взять 100 Герц на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой – через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Читайте также:  Как сделать человечка из соленого теста

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры 😉

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

Заключение

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение – это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа 😉


Картинки из сети, качество желает лучшего, но они достаточно точно отражают суть опыта по визуализации фигур. Зри в корень – основа мудрости поколений.

Немного истории

Ещё в школе на уроках физики я вглядывался в осциллограф, на экране которого, сменяя друг друга, появлялись разные фигуры: сначала простые – линия, парабола, круг, эллипс, потом фигуры становились всё более насыщенные непрерывными волнообразными линиями, напоминающие мне кружева. Автором этого кружевного дива был Жюль Антуан Лиссажу французский физик, член — корреспондент Парижской АН (1879) [1]. Сами фигуры — это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [2]. Думаю, что в те далёкие от современности годы основной заслугой Жюля, кроме конечно накопленных опытом знаний математики и физики, была простая механическая визуализация этих фигур подручными средствами. Захотелось конструировать подобно Жулю максимально просто и наглядно, реализовать его идеи применительно к современной задаче линейных измерений. Но сделать это путём математического моделирования с графической визуализацией его результатов на Python. Но сначала рассмотрим классический вариант [3] построения фигур.

Какими должны быть фигуры Лиссажу

Для этого воспользуемся системой уравнений, описывающих фигуры:

x(t), y(t) в общем случае зависящие от времени гармонические колебания вдоль взаимно перпендикулярных плоскостей, частоты b, a и начальная фаза d. Для анализа фигур в вычислениях принимают постоянным модуль разности частот |b — a| = 1. Будем рассматривать отношение круговых частот b / a и начальную фазу d. Имеем для линии A = B d = 0, окружности , и параболы . Основные отношения частот, удовлетворяющие условию, занесём во вложенный список m=[[0],[2,2],[2,1],[1,2],[3,2],[3,4],[5,4],[5,6],[9,8]].

Результат не привожу, отдельные фигуры не впечатляют. Хочу коллаж из «кружев».

И вот они «кружева».

Что нельзя отнести к фигурам Лиссажу по определению о их замкнутости

Зачем нам |b — a| = 1, “за флажки!” попробуем например так m=[[1,3],[1,5],[1,7],[1,9]]

На втором графике при m=0,2 получена незамкнутая траектория, которая по определению не является фигурой Лbссажу.

В поисках механических аналогов

Поищем аналогии фигур в измерительной технике и вот вибрационный уровнемер с резонатором в виде эллиптической трубки [4].

Упруго закреплённая трубка эллиптического сечения с помощью систем возбуждения 5,6,7 совершает автоколебания в одной плоскости, а с помощью систем 8, 9, 10 в другой плоскости перпендикулярной первой. Трубка колеблется в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с разными частотами близкими к собственным. Масса трубки зависит от уровня заполняющей её жидкости. С изменением массы меняются и частоты колебаний трубки, которые и являются выходными сигналами уровнемера. Частоты несут дополнительную информацию о мультипликативных и аддитивных дополнительных погрешностях, компенсируемых при обработке частот микропроцессором 11.

Условия адекватного моделирования

Для более-менее корректной привязки фигур Лиссажу к работе упомянутого уровнемера, следует учесть следующие обстоятельства. Во-первых, закреплённая одним концом трубка эллиптического сечения — это колебательная система с распределёнными параметрами, что сильно усложняет анализ её колебаний. Во-вторых, отношение частот колебаний трубки не может изменяться произвольно, оно зависит от эллипсности сечения и допустимых зазоров в системе возбуждения колебаний. Для отношения частот можно получить простое соотношение.

К чему принадлежат переменные, a, b, a0, b0 ясно из рисунка и кроме того формула для циклической частоты осциллятора известна из школьного курса физики. Для «реализации на Python в последнее отношение введём толщину стенки и показатель эллипсности внутреннего сечения трубки, тогда вместо четырёх переменных получим три.

В результате работы программы получим график.

График построен для малой внутренней полуоси в 9 мм. Для конструктивно допустимого отношения малой к большой полуоси сечения в диапазоне от 0.8 до 0.95. Это основной фактор влияния на отношение частот, которое изменяется от 1.18 до 1.04. Толщина стенки влияет незначительно. Теперь у нас есть диапазон отношений и ним можно воспользоваться для дальнейшего моделирования.

Читайте также:  Какую выбрать посудомоечную машину 45 или 60

Формы колебаний вертикальной оси трубки

Что касается распределённых механических параметров консольной трубки, то они при помощи равенства собственных частот и импеданса могут быть приведены к сосредоточенной массе жёсткости и демпфированию. Кроме того, для определения форм изгибных колебаний консольной трубки можно получить выражение для распределённых параметров. Уравнение для форм – балочные функции имеет вид:


где — корни уравнения:

Следует отметить что, не смотря на большое количество публикаций о формах и частотах колебаний консольного стержня, балки или трубки уравнения (4) нигде не приводяться, только рисунки без координат. Поэтому уравнение (4), я вывел через условия на концах и балочные функции, проверил по корням (5) и расположению узлов. Однако это тривиальное уравнение, о котором просто забыли.

В результате работы программы получим график построенный с учётом вертикального положения трубки.

На графике координата осевой линии приведена к длине трубки, а амплитуда нормирована. Положение узлов колебаний трубки относительно места её крепления в точности соответствует теории колебаний.

По каким траекториям движется конец трубки

Последнее препятствие — сложность получения осмысленного численного решения дифференциальных уравнений колебаний, при условии варьирования несколькими параметрами одновременно. Тут на помощь пришли две мои статьи о колебательном звене на Python [5,6], в которых приведена методика получения точных символьных решений дифференциальных уравнений.

Запишем два условно независимых уравнения для колебаний трубки в плоскости OX и OY с разными частотами a и b отношение между которыми выбрано из ранее установленного диапазона. Остальные параметры выбраны во правильной взаимосвязи, но произвольно для лучшей демонстрации результата.

Здесь введены следующие обозначения (для упрощения без индексов).

─ приведенная амплитуда силы, ─ коэффициент затухания, ─ собственная частота колебаний системы, m ─ сосредоточенная масса одинаковая для обоих уравнений, ─ сосредоточенные коэффициенты демпфирования, разные из-за разных амплитуд, а следовательно разных зазорах в системах возбуждения колебаний, ─ разные жёсткости из-за эллиптичности сечения трубки.

Программа позволяет менять все параметры модели, например, для:
N=1000, B=0.2, f=1, n1=0, n2=20, w1=5.0, w2=10.0, v1=0, v2=0

Для отношения частот 0.5 переходной процесс множит фигуры. Поставим “ворота” времени n15=0, n2=20, получим.

Снимем” ворота” и введём начальную фазу v2=-pi/2, получим:

С учётом изложенного выше, графики комментарий не требую.

Для интриги

Если эта статья найдёт своих читателей или читатели её найдут, не устрашившись теней прошлого, то я опубликую трёхмерные анимационные графики сложных пространственных колебаний трубки при изменении в ней уровня заполняющей жидкости.

Вместо выводов

Изобретение Жюля Антуана Лиссажу продолжает свой путь во времени, но уже и на Python. Надеюсь, что представленная интерпретация, конечно далёкая от совершенства, позволит продолжить знакомство с работами гениального математика Лиссажу.


Картинки из сети, качество желает лучшего, но они достаточно точно отражают суть опыта по визуализации фигур. Зри в корень – основа мудрости поколений.

Немного истории

Ещё в школе на уроках физики я вглядывался в осциллограф, на экране которого, сменяя друг друга, появлялись разные фигуры: сначала простые – линия, парабола, круг, эллипс, потом фигуры становились всё более насыщенные непрерывными волнообразными линиями, напоминающие мне кружева. Автором этого кружевного дива был Жюль Антуан Лиссажу французский физик, член — корреспондент Парижской АН (1879) [1]. Сами фигуры — это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [2]. Думаю, что в те далёкие от современности годы основной заслугой Жюля, кроме конечно накопленных опытом знаний математики и физики, была простая механическая визуализация этих фигур подручными средствами. Захотелось конструировать подобно Жулю максимально просто и наглядно, реализовать его идеи применительно к современной задаче линейных измерений. Но сделать это путём математического моделирования с графической визуализацией его результатов на Python. Но сначала рассмотрим классический вариант [3] построения фигур.

Какими должны быть фигуры Лиссажу

Для этого воспользуемся системой уравнений, описывающих фигуры:

x(t), y(t) в общем случае зависящие от времени гармонические колебания вдоль взаимно перпендикулярных плоскостей, частоты b, a и начальная фаза d. Для анализа фигур в вычислениях принимают постоянным модуль разности частот |b — a| = 1. Будем рассматривать отношение круговых частот b / a и начальную фазу d. Имеем для линии A = B d = 0, окружности , и параболы . Основные отношения частот, удовлетворяющие условию, занесём во вложенный список m=[[0],[2,2],[2,1],[1,2],[3,2],[3,4],[5,4],[5,6],[9,8]].

Результат не привожу, отдельные фигуры не впечатляют. Хочу коллаж из «кружев».

И вот они «кружева».

Что нельзя отнести к фигурам Лиссажу по определению о их замкнутости

Зачем нам |b — a| = 1, “за флажки!” попробуем например так m=[[1,3],[1,5],[1,7],[1,9]]

На втором графике при m=0,2 получена незамкнутая траектория, которая по определению не является фигурой Лbссажу.

Читайте также:  Как удалить запах бензина с одежды

В поисках механических аналогов

Поищем аналогии фигур в измерительной технике и вот вибрационный уровнемер с резонатором в виде эллиптической трубки [4].

Упруго закреплённая трубка эллиптического сечения с помощью систем возбуждения 5,6,7 совершает автоколебания в одной плоскости, а с помощью систем 8, 9, 10 в другой плоскости перпендикулярной первой. Трубка колеблется в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с разными частотами близкими к собственным. Масса трубки зависит от уровня заполняющей её жидкости. С изменением массы меняются и частоты колебаний трубки, которые и являются выходными сигналами уровнемера. Частоты несут дополнительную информацию о мультипликативных и аддитивных дополнительных погрешностях, компенсируемых при обработке частот микропроцессором 11.

Условия адекватного моделирования

Для более-менее корректной привязки фигур Лиссажу к работе упомянутого уровнемера, следует учесть следующие обстоятельства. Во-первых, закреплённая одним концом трубка эллиптического сечения — это колебательная система с распределёнными параметрами, что сильно усложняет анализ её колебаний. Во-вторых, отношение частот колебаний трубки не может изменяться произвольно, оно зависит от эллипсности сечения и допустимых зазоров в системе возбуждения колебаний. Для отношения частот можно получить простое соотношение.

К чему принадлежат переменные, a, b, a0, b0 ясно из рисунка и кроме того формула для циклической частоты осциллятора известна из школьного курса физики. Для «реализации на Python в последнее отношение введём толщину стенки и показатель эллипсности внутреннего сечения трубки, тогда вместо четырёх переменных получим три.

В результате работы программы получим график.

График построен для малой внутренней полуоси в 9 мм. Для конструктивно допустимого отношения малой к большой полуоси сечения в диапазоне от 0.8 до 0.95. Это основной фактор влияния на отношение частот, которое изменяется от 1.18 до 1.04. Толщина стенки влияет незначительно. Теперь у нас есть диапазон отношений и ним можно воспользоваться для дальнейшего моделирования.

Формы колебаний вертикальной оси трубки

Что касается распределённых механических параметров консольной трубки, то они при помощи равенства собственных частот и импеданса могут быть приведены к сосредоточенной массе жёсткости и демпфированию. Кроме того, для определения форм изгибных колебаний консольной трубки можно получить выражение для распределённых параметров. Уравнение для форм – балочные функции имеет вид:


где — корни уравнения:

Следует отметить что, не смотря на большое количество публикаций о формах и частотах колебаний консольного стержня, балки или трубки уравнения (4) нигде не приводяться, только рисунки без координат. Поэтому уравнение (4), я вывел через условия на концах и балочные функции, проверил по корням (5) и расположению узлов. Однако это тривиальное уравнение, о котором просто забыли.

В результате работы программы получим график построенный с учётом вертикального положения трубки.

На графике координата осевой линии приведена к длине трубки, а амплитуда нормирована. Положение узлов колебаний трубки относительно места её крепления в точности соответствует теории колебаний.

По каким траекториям движется конец трубки

Последнее препятствие — сложность получения осмысленного численного решения дифференциальных уравнений колебаний, при условии варьирования несколькими параметрами одновременно. Тут на помощь пришли две мои статьи о колебательном звене на Python [5,6], в которых приведена методика получения точных символьных решений дифференциальных уравнений.

Запишем два условно независимых уравнения для колебаний трубки в плоскости OX и OY с разными частотами a и b отношение между которыми выбрано из ранее установленного диапазона. Остальные параметры выбраны во правильной взаимосвязи, но произвольно для лучшей демонстрации результата.

Здесь введены следующие обозначения (для упрощения без индексов).

─ приведенная амплитуда силы, ─ коэффициент затухания, ─ собственная частота колебаний системы, m ─ сосредоточенная масса одинаковая для обоих уравнений, ─ сосредоточенные коэффициенты демпфирования, разные из-за разных амплитуд, а следовательно разных зазорах в системах возбуждения колебаний, ─ разные жёсткости из-за эллиптичности сечения трубки.

Программа позволяет менять все параметры модели, например, для:
N=1000, B=0.2, f=1, n1=0, n2=20, w1=5.0, w2=10.0, v1=0, v2=0

Для отношения частот 0.5 переходной процесс множит фигуры. Поставим “ворота” времени n15=0, n2=20, получим.

Снимем” ворота” и введём начальную фазу v2=-pi/2, получим:

С учётом изложенного выше, графики комментарий не требую.

Для интриги

Если эта статья найдёт своих читателей или читатели её найдут, не устрашившись теней прошлого, то я опубликую трёхмерные анимационные графики сложных пространственных колебаний трубки при изменении в ней уровня заполняющей жидкости.

Вместо выводов

Изобретение Жюля Антуана Лиссажу продолжает свой путь во времени, но уже и на Python. Надеюсь, что представленная интерпретация, конечно далёкая от совершенства, позволит продолжить знакомство с работами гениального математика Лиссажу.

Комментарии запрещены.

Присоединяйся